Determinansuatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau sepanjang kolom. Selain itu determinan juga dapat ditentukan dengan metode sarrus.Dengan menggunakan metode Sarrus perhitungan determinan menjadi lebih sederhana dan mudah.. Pada video kali ini dibahas mengenai cara mendapatkan bentuk sederhana perhitungan determinan matriks ordo 2x2. Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3. Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom. Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor. Minor Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan. Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan. Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru. Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2. Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2. Contoh M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan Contoh M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan Kofaktor Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus Contoh Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor. Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan dan invers matriks 3×3. Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca dalam invers matriks ordo 3×3. Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi baris dan kolom. > Ekspansi Baris Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1 ai1 dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks. Pembahasan materi ini juga dapat di tonton dalam video ekspansi baris kofaktor 3×3. Rumus umum determinan ekspansi baris Kenapa tandanya + plus semua? Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang digunakan. Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya dimulai dengan positif. Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka rumusnya dimulai dengan tanda negatif. Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom. Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan ekspansi baris matriks 3×3, yaitu Ekspansi baris pertama Ekspansi baris kedua Ekspansi baris ketiga Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi! Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi Baris Pertama Rumus manapun ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3 yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan. Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan? Jawabannya adalah “elemen nol”. Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat. Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan. Satu Elemen Nol Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom. Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi baris kedua Dua Elemen Nol Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas. Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi baris ketiga Tiga elemen nol Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol. Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi baris kedua Ekspansi Kolom Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1 a1j dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks. Rumus umum determinan ekspansi kolom Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu Ekspansi kolom pertama Ekspansi kolom kedua Ekspansi kolom ketiga Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi kolom pertama Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi dan jumlah elemen nol dalam matriks. Satu Elemen Nol Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi kolom ketiga Dua elemen nol Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti contoh diatas. Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi Kolom Kedua Tiga elemen nol Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya. Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu elemen nol. Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti dua elemen nol. Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi kolom pertama Metode determinan selanjutnya mempunyai cara yang berbeda, yaitu mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas dan bawah. Ya, apalagi kalau bukan metode Operasi Baris Elementer. Atau mungkin anda mencari pembahasan minor-kofaktor dalam invers matriks 3×3. DETERMINAN MATRIKS 3×3 SARRUS > EKSPANSI KOFAKTOR > OBE Sebagaicontoh, kita ambil matriks A2×2 A= untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad - bc Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Determinan dengan Minor dan kofaktor A= -2 +3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Dalam menentukkan determinan suatu matriks persegi kita dapat menggunakkan metode Sarrus Baca Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3. Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Dengan metode ini, kita dapat menentukan tidak hanya determinan matriks ordo 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya. Namun, apa sebenarnya kofaktor tersebut? Jika kita berbicara kofaktor tentu tidak terlepas dari yang namanya minor. Selain dalam penentuan determinan, kofaktor juga diperlukan dalam menentukkan invers suatu matriks. Untuk lebih jelasnya mengenai Minor dan Kofaktor perhatikan definisi berikut. Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan -1i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij. Untuk lebih memahaminnya perhatikan contoh berikut Tentukkan minor dan kofaktor dari matriks Penyelesaian Untuk menentukkan minor M11 berarti kita harus menghapus/coret elemen baris pertama dan kolom pertama dan tentukan determinan submatriks hasil penghapusan/coret tadi. Untuk M12, kita hapus elemen baris pertama dan kolom kedua dan mencari determinan submatriks tersebut dan demikian seterusnya Sedangkan, kofaktor kita tentukan dengan rumus Cij = -1i+jMij C11 = -11+1-9 = -9 C12 = -11+2-7 = 7 C13 = -11+3-8 = -8 C21 = -12+1-26 = 26 C22 = -12+2-16 = -16 C23 = -12+3-2 = 2 C31 = -13+12 = 2 C32 = -13+210 = -10 C33 = -13+36 = 6 Minor dan kofaktor sebenarnya hanya dibedakan oleh nilai positif dan negatif saja atau Mij = ±Cij. Untuk menentukan kapan nilainya positif dan negatif bisa dilihat dari hasil penjumlahan bari dan kolom pada pangkat -1 kofaktor apakah bernilai genap atau ganjil. Jika bernilai genap maka akan berilai positif sedangkan jika ganjil maka bernilai negatif. Sehingga, kita dapat menentukan kofaktor dengan lebih cepat tentunya. Kembali pada bahasan pokok yaitu menghitung determinan menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Sebelumnya pahami terlebih dahulu Teorema berikut. Teorema Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j atau detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i Sebagai contoh kita gunakan matriks sebagai matriks A yang akan kita cari determinannya. Dalam hal ini, kita akan menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama dan ekspansi kofaktor kolom kedua. Penyelesaian Untuk menentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama berarti rumusnya menjadi detA = a11C11 + a12C12 + a13C13 Sehingga yang kita tentukan terlebih dahulu kofaktor C11,C12, dan karena kita telah menemukannya tadi jadi kita dapat menggunakannya langsung detA = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2-9 + 47 + 6-8 = -18 + 28 -48 = -38 Dengan menggunakan kspansi kofaktor kolom kedua detA = a12C12 + a22C22 + a32C32 = 47 + 1-16 + 5-10 = 28 -16 - 50 = -38 Untuk menentukan determinan 3x3, 4x4, 5x5 dan seterusnya kita dapat menggunakan metode ini. Namun, mungkin pengerjaannya mungkin akan menjadi lebih panjang. Tentukandeterminan matriks Penyelesaian; Langkah pertama, yang perlu diperhatikan dalam menuntaskan soal ini yaitu kita cari cara yang termudah dalam menyelesaikannya. Dalam hal ini, kita akan memakai perluasan kofaktor baris pertama alasannya dua dari empat elemen baris pertama bernilai nol (0). Daftar Isi Apa itu Ekspansi Kofaktor?Contoh 1 Menghitung Determinan dengan Metode Ekspansi KofaktorContoh 2 Kelebihan Metode Ekspansi Kofaktor1. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers Metode Ekspansi KofaktorContoh 3 Apa itu Ekspansi Kofaktor?Metode ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor yang mengutamakan kemampuan berhitung secara manual dan secara apa itu kofaktor?Metode SarrusMetode Kupu-KupuSebelum mengenal apa itu kofaktor, mari kita ingat kembali pada saat duduk di bangku SMA kita sudah mengenal dan memahami aturan sarrus untuk matriks 3×3 dan metode kupu-kupu untuk matriks 2×2.Perhatikan contoh berikut Didefinisikan matriks \A\ dan \B\ sebagai berikut $$A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$Kita akan menentukan determinan matriks \A\ dan \B\. Berdasarkan metode kupu-kupu pada matriks \A\ kita peroleh $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=a_{11}-1^{1+1}a_{22}+a_{12}-1^{1+2}a_{21}\\&=a_{11}-1^{1+1}\left{a_{22}}\right+a_{12}-1^{1+2}\left{a_{21}}\right\end{aligned}$$dan pada matriks \B\ dengan berdasarkan aturan sarrus dan kupu-kupu kita peroleh $$\begin{aligned}\text{det}B&=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}-b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}\\&=b_{11}-1^{1+1}\left{b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}}\right+b_{12}-1^{1+2}\left{b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}}\right+b_{13}-1^{1+3}\left{b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}}\right\\&=b_{11}-1^{1+1}\left{\begin{array}{cc}b_{22}&b_{23}\\b_{32}&b_{33}\end{array}}\right+b_{12}-1^{1+2}\left{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{23}\\b_{31}&b_{33}\end{array}}\right+b_{13}-1^{1+3}\left{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}}\right\end{aligned}$$Dari pernyataan di atas bahwa determinan matriks \B\ dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil, begitu pula pada matriks \A\.Kemudian pada contoh di atas tanpa kita sadari, juga telah menerapkan konsep kofaktor, untuk lebih jelasnya, berikut definisi kofaktor Definisi Kofaktor Jika \A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]\ maka kofaktor dari \a_{ij}\ dapat lambangkan \C_{ij}\ dan \C_{ij}=-1^{i+j}M_{ij}\, dengan \M_{ij}\ menyatakan minor dari \a_{ij}\ dan \M_{ij}\ adalah determinan dari submatriks \A\ yang diperoleh dengan mencoret semua entri pada baris ke-\i\ dan semua entri pada kolom ke-\j\.Baca juga Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian ElementerContoh 1 Tentukan minor dan kofaktor dari entri \a_{12}, a_{31}\ dan \a_{23}\ pada matriks \A\ berikut $$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&-1\\2&-2&0\end{array}}\right]$$Penyelesaian Minor \a_{12}\ diperoleh dengan cara mencoret semua entri pada baris ke-\1\ dan semua entri pada kolom ke-\2\, kemudian dihitung determinannya $$M_{12}=\left{\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}}\right=10-12=2$$dan kofaktor dari \a_{12}\ adalah $$C_{12}=-1^{1+2}M_{12}=-1\times 2=-2$$Dengan cara yang sama kita cari minor dan kofaktor dari \a_{31}\ dan \a_{23}\.$$M_{31}=\left{\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}}\right=1~\text{sehingga}~C_{31}=-1^{3+1}M_{31}=1$$dan$$M_{23}=\left{\begin{array}{cc}2&-1\\2&-2\end{array}}\right=-2~\text{sehingga}~C_{23}=-1^{2+3}M_{23}=2$$Selanjutnya kita akan menghitung determinan suatu matriks persegi dengan menerapkan konsep ekspansi Determinan dengan Metode Ekspansi KofaktorDeterminan dari matriks \A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]~\forall~i,j =\{1,2,3,\dots,n\}\ dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau dalam suatu kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Kemudian menjumlahkan semua hasil-hasil kali yang dihasilkan, atau dapat ditulis $$\text{det}A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}$$Karena baris ke-\i\ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-\i\$$\text{det}A=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{in}$$Karena kolom ke-\j\ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-\j\Contoh 2 Didefinisikan matriks \A\ sebagai berikut $$A=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&-2\\2&5&1\\-1&3&1\end{array}}\right]$$Dengan metode ekspansi kofaktor tentukan determinan matriks \A\.Penyelesaian Tips pilih baris atau kolom yang mengandung banyak unsur/entri nol agar perhitungan menjadi lebih pilih baris pertama \a_{12}=0\ sehingga kita dapat tuliskan $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\dots*\end{aligned}$$Kemudian kita cari nilai dari masing-masing kofaktor $$M_{11}=\left{\begin{array}{cc}5&1\\3&1\end{array}}\right=2~\Rightarrow~C_{11}=-1^{1+1}2=2$$$$M_{13}=\left{\begin{array}{cc}2&5\\-1&3\end{array}}\right=11~\Rightarrow~C_{13}=-1^{1+3}11=11$$Sehingga jika kita subtitusikan ke persamaan \*\ akan diperoleh $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\\&=32+-211\\&=-16\end{aligned}$$Baca juga Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku pada Matriks 3×31. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau metode sarrus terbatas pada ordo \3 \times 3\ maka untuk menghitung determinan dengan ordo yang lebih tinggi \4\times 4, 5\times5,\dots,n\times n\ dapat menggunakan metode ekspansi dimulai dari matriks 2×2 ?Hal ini karena pada matriks 1×1 dalam mencari determinannya cukup menggunakan definisi saja, dimana jika terdapat matriks \A_{1\times1}=\left[a_{11}\right]\ maka determinannya adalah \\text{det}A=a_{11}\.2. Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara ini didapat dari perbandingan dengan metode lainnya seperti aturan sarrus dan reduksi baris, dimana masing-masing mempunyai kelebihan tersendiri. Ekspansi kofaktor juga sekaligus dapat melatih ketahanan dalam berhitung, kita ambil contoh pada saat mencari determinan \A_{5\times 5}\ maka kita akan menemukan determinan dari submatriks dari \A\ yang berukuran \4 \times 4\, dimana determinan dari submatriks tersebut kita hitung juga dengan ekspansi kofaktor sehingga akan ditemukan determinan submatriks dari submatriks \A\ yang berukuran \3 \times 3\ dan paham konsep dari ekspansi kofaktor dan mempunyai hitungan yang tepat maka metode ekspansi kofaktor akan efektif Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers saat duduk dibangku SMA pasti sudah mengenal rumus mencari invers berikut $$A_{n\times n}^{-1}=\frac{\text{Adjoin}A}{\text{det}A}$$Pada persamaan tersebut terdapat Adjoin\A\ yang didefinisikan sebagai transpose matriks kofaktor dari \A\ dapat kita tuliskan $$\text{Matriks kofaktor A}=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{12}&\dots&C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\dots&C_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n1}&C_{n2}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$Maka $$\text{Adjoin}A=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\dots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\dots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$Dari kenyataan tersebut, jelas bahwa konsep kofaktor dapat dimanfaatkan untuk mencari invers matriks. Sehingga tidak ada salahnya mempelajari ekspansi kofaktor, namun disamping itu metode ekspansi kofaktor menurut penulis masih terdapat Metode Ekspansi KofaktorMenurut penulis metode ekspansi kofaktor dalam segi kecepatan masih kurang jika dibandingkan dengan metode campuran yaitu gabungan dari macam-macam metodesarrus, kupu-kupu, ekspansi kofaktor, reduksi baris dan lainnya yang dipadukan dengan sifat-sifat postingan ini kita tidak akan membahas mengenai metode reduksi baris. Sehingga sekarang untuk membuktikan argumen tersebut, saya asumsikan kita sudah memahami metode reduksi 3 Misalkan kita akan menghitung determinan matriks \A\ sebagai berikut $$\text{det}A=\left{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\2&7&2&1\\1&6&4&-1\\-3&3&1&2\end{array}}\right$$Kita akan mereduksi matriks tersebut dengan mengenakan operasi baris elementer \-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\\-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\\3R_{1}+R_{4}\rightarrow R_{4}\secara berturut-turut sehingga kita peroleh $$\text{det}A=\left{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\0&-1&-8&5\\0&2&-1&1\\0&15&16&-4\end{array}}\right$$Nah, selanjutnya kita kenakan metode ekspansi kofaktor, kita pilih entri-entri pada kolom pertama dimana \a_{11}=1\ dan \a_{21}=a_{31}=a_{41}=0\.$$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}\\&=C_{11}\end{aligned}$$Dengan aturan sarrus kita peroleh $$\begin{aligned}M_{11}&=\left{\begin{array}{cccc}-1&-8&5\\2&-1&1\\15&16&-4\end{array}}\right\\&=-1-1-4+-8115+5216-5-115-1116-82-4\\&=63\end{aligned}$$Sehingga kita peroleh $$\text{det}A=C_{11}=-1^{1+1}M_{11}=163=63$$Jadi dengan menggunakan metode campuran akan lebih efektif, namun kita dituntut untuk sekreatif mungkin untuk menyusun alur perhitungan yang termudah.
Padatulisan sebelumnya sudah pernah dibahas tentang cara menghitung determinan menggunakan Metode Operasi Baris dan Metode Sarrus yang sering digunakan. Maka pada tulisan kali ini akan dibahas cara menghitung determinan menggunakan metode Kofaktor atau disebut juga Aturan Cramer. Ekspansi Kofaktor Determinan dari matriks A, n x n, dapat
Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri $a_{ij}$ dinyatakan oleh $M_{ij}$ dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom j dicoret dari A. Bilangan $-1^{i+j}M_{ij}$ dinyatakan oleh $C_{ij}$ dan dinamakan kofaktor entri $a_{ij}$ Minor Minor dari suatu unsur adalah suatu determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris dan kolom di mana unsur itu terletak. Contoh $M_{12}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$ Kofaktor Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut tanda. Kofaktor dari suatu unsur yang terletak pada garis ke-i dan ke-j dirumuskan sebagai berikut $-1^{i+j}M_{ij}$ dengan i = 1,2,3,.... j = 1,2,3,.... Contoh $\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}$ Minor entri $a_{ij}$ adalah $M_{11}=\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 6\\ 4 & 8\end{vmatrix}=16$ Kofaktor $a_{ij}$ adalah $C_{11}=-1^{1+1}M_{11}=M_{11}=16$ Cara cepat menentukan apakah + atau - yaitu $\begin{bmatrix}+ & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots\\ + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{bmatrix}$ Contoh soal 1. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 7\\ -2 & 4 & 3\\ 4 & -1 & 2\end{bmatrix}$. Tentukan determinan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua Jawab $\begin{vmatrix}3 & 5 & 7\\ {\color{Red}-2} &{\color{Red}4} &{\color{Red}3}\\ 4 & -1 &2\end{vmatrix}$ $=-2\begin{vmatrix}5 & 7\\ -1 &2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}3 & 7\\ 4 &2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3 & 5\\ 4 &-1 \end{vmatrix}$ = 210+7 + 46-28 - 3-3-20 = 217 + 4-22 -3-23 = 15 Jadi det A = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya!
Determinandengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama. Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom. adj(A) = Determinan Matriks Halo Sobat Zenius! Dalam artikel ini gue mau ngajakin elo buat membahas rumus determinan matriks lengkap dengan cara menghitung dan contoh soalnya. Oh iya, materi determinan matriks ini adalah salah satu materi yang akan elo pelajari dalam mata pelajaran Matematika kelas 11 lho. Nah, kalo di artikel sebelumnya, re Matriks Itu Apa Sih?, gue udah bahas tentang basic dari materi matriks konsep, jenis, dan operasinya, artikel ini adalah artikel lanjutannya, yaitu bagaimana cara mencari determinan matriks dengan berbagai cara, mulai dari determinan matriks 2×2, 3×3 Metode Sarrus, hingga 3×3 Minor-Kofaktor. Makin penasaran, kan? Yuk, disimak baik-baik, ya! Apa Itu Determinan Matriks?Rumus Determinan Matriks 3×3 Metode SarrusRumus Determinan Matriks 3×3 Minor KofaktorSifat-sifat Determinan MatriksContoh Soal Determinan Matriks Apa Itu Determinan Matriks? Di materi rumus determinan matriks ini, elo bakal ketemu sama yang namanya invers matriks. Tapi, sebelum ke situ, elo harus tau dulu apa pengertian determinan matriks. Kenapa sih kok perlu membahas ini dulu? Karena, determinan ini yang akan elo gunakan dalam menentukan invers matriks. Jadi, yang dimaksud determinan matriks adalah nilai yang diperoleh dari matriks persegi. Si determinan ini adalah fungsi yang akan memetakan matriks persegi ke bilangan real. Nilai determinan disimbolkan dengan “…”, misalnya matriks A, nilai determinannya menjadi det A=A. Nah, tadi udah gue sebutkan kalau determinan ini diartikan sebagai nilai yang mewakili matriks persegi ーartinya selain matriks persegi, nggak bisa dicari tau kalau matriks persegi itu ada yang berordo 2×2 dan 3×3. Sedangkan, cara menghitung determinan matriks dari kedua ordo ini berbeda lho. Kita bahas satu per satu, ya. Tapi sebelumnya, download aplikasi Zenius dulu yuk biar elo bisa dapetin materi belajar yang lebih lengkap dan nikmatin semua fitur-fiturnya. Klik gambar di bawah ini, ya! Download Aplikasi Zenius Tingkatin hasil belajar lewat kumpulan video materi dan ribuan contoh soal di Zenius. Maksimaln persiapanmu sekarang juga! Rumus Determinan Matriks 2×2 Untuk matriks berordo 2×2 terdiri dari dua baris dan dua kolom, nilai determinannya bisa dicari seperti berikut ini. Cara menghitung determinan matriks ordo 2×2 adalah dengan mengalikan elemen-elemen yang ada di diagonal utama, lalu kurangkan dengan elemen-elemen di diagonal sekunder. Supaya lebih mudah, langsung kita lihat contoh soal determinan matriks di bawah ini. Coba elo perhatikan baik-baik ya. Udah makin kebayang kan kalau angkanya dicemplungin? Coba deh elo kerjain soal di bawah ini buat latihan. Rumus Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus Kalau caranya beda sama yang matriks 2×2, lalu gimana dengan cara menghitung determinan matriks berordo 3×3? Oke, kita langsung bahas caranya ya. Jadi, untuk mencari yang determinan matriks 3×3, elo bisa menggunakan beberapa metode, seperti Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor. Pertama, kita bakal bahas Metode Sarrus. Metode ini hanya bisa digunakan pada determinan matriks 3×3, jadi selain itu gak bisa pakai metode yang satu ini ya. Misalnya, ada matriks A berordo 3×3 sebagai berikut Berapakah determinan matriks A? Berikut uraian caranya Langkah pertama, tulis lagi elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai pola perhatikan pola warna dan tandanya. Ilustrasi matriks Dok. Arsip Zenius detA = + + – – – Supaya makin kebayang, kita langsung cemplungin angka-angkanya, yuk! detA = + + – – – = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11 Jadi, determinan matriks A adalah 11. Udah paham ya? Supaya makin paham, coba elo kerjain latihan soal di bawah ini Rumus Determinan Matriks 3×3 Minor Kofaktor Ternyata masih ada metode lain untuk menentukan rumus determinan matriks 3×3 lho, yaitu Metode Minor-Kofaktor. Coba elo perhatikan konsep dari determinan yang satu ini. Dari matriks A di atas, kita buang elemen Aij, maksudnya adalah matriks A elemen ke ij. Misal, kita mau pilih A12, berarti kita harus buang baris ke-1 dan kolom ke-2. Elo bisa perhatikan gambar di bawah ini. Video premium Zenius materi Determinan Matriks Dok. Arsip Zenius Dari gambar di atas, ada yang namanya minor dan kofaktor. Minor M adalah determinan dari matriks yang beberapa elemennya udah dibuang. Sedangkan, kofaktor C atau K memiliki rumus min 1 pangkat elemen i + j dikalikan dengan minornya >> -1i+jMij. Oh iya, nyambung lagi ke materi di atas, supaya makin paham, kita langsung cemplung angka-angkanya ya. detA = 1-2 – 2-8 + 3-1 = -2 + 16 -3 = 11 Jadi, determinan dari matriks A adalah 11. Sifat-sifat Determinan Matriks Jangan salah, determinan juga punya karakter atau sifat-sifat lho. Nih, misalkan A dan B adalah matriks berordo nxn. Kita bisa rangkum sifatnya sebagai berikut. AB = A BAT = A, T transpose matrikskA = knA, k bilangan skalar/riil dan n ordo matriks AA-1 = 1/A invers matriksBaris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya = 0Dua baris atau kolom yang elemennya sama/kelipatannya, maka determinan matriksnya = 0 Oke sebelum lanjut ke contoh soal, gue pengen ngingetin Sobat Zenius soal paket belajar yang bisa elo coba kalau ingin mempelajari materi lainnya bareng Zen Tutor yang asik dan berpengalaman. Ketuk gambar di bawah ini ya untuk info lebih lengkapnya! Nah, setelah tadi elo udah tau mengenai rumus determinan matriks. Kurang afdol rasanya kalo kita belajar materi Matematika tapi gak langsung praktik. Di bagian ini, gue udah nyiapin beberapa contoh soal determinan matriks yang bisa elo pahami terlebih dahulu. Contoh Soal Determinan Matriks 1 Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode Sarrus. Arsip Zenius Pembahasan Dengan menggunakan metode Sarrus maka cara perhitungannya seperti elo menganyam nama lain metode ini, yakni dengan menambahkan dua ruas di sisi kanan, seperti berikut Arah panah ke kiri panah orange = -10, 0, 0 Arah panah ke kanan panah ungu = 0, 6, 0 Determinan adalah ruas kanan – ruas kiri = 0+6+0 – -10+0+0 = 16 Contoh Soal Determinan Matriks 2 Contoh soal determinan matriks yang kedua ini punya angka yang sama dengan yang pertama, tapi cara yang diminta berbeda, yaitu dengan menggunakan metode minor-kofaktor. Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode minor kofaktor Arsip Zenius Pembahasan Oke, seperti yang udah gue jelasin tentang metode minor kofaktor di bagian rumus determinan matriks. Cara pertama adalah elo lihat angka pada baris paling atas, kemudian ambil determinannya, jadinya akan seperti ini Oke, sampai sini udah jelas ya bahasan tentang determinan matriks? Sekarang gue mau survei kecil-kecilan, elo jawab ya! Loading ... Kalau belum paham, kira-kira bagian mana sih yang elo masih bingung? Share jawaban elo di kolom komentar ya supaya gue dan teman-teman yang lain bisa bantu elo memahami materi yang satu ini. Oh iya, jika elo ingin mendalami lagi mengenai materi Matematika yang lain, gak cuman tentang rumus determinan matriks, elo bisa banget langganan paket belajar Aktiva Sekolah Plus dari Zenius. Gak hanya Matematika, di Zenius elo juga bisa menemukan mata pelajaran lainnya, lho, seperti Bahasa Inggris, Sejarah, Biologi, dan lain-lainnya. Elo juga bakal dapet akses ke ribuan video pembelajaran, latihan soal, live class, sampai tryout. Cek info selengkapnya dengan klik gambar di bawah ini, ya! Itu dia pembahasan singkat dari gue mengenai rumus determinan matriks beserta beberapa contoh soal yang bisa elo pelajari. Nah, kalau elo pengen dapetin penjelasan materi ini lebih jauh, elo tinggal klik banner di bawah ini, terus ketikkan materi yang mau elo pelajari di kolom pencarian ya! Jangan lupa daftar akun Zenius biar elo bisa nonton video materi determinan matriks 2×2, 3×3 Metode Sarrus, dan 3×3 Metode Minor-Kofaktor yang lebih lengkap. Elo bisa langsung daftar di sini, nih! Baca Juga Artikel Lainnya Induksi Matematika untuk Membuktikan Rumus Rumus Fungsi Linear Contoh dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika Rumus, Contoh Soal, dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-Hari Originally published September 10, 2021Updated by Maulana Adieb & Sabrina Mulia Rhamadanty
tentukandeterminan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama Jawab: det (A) = = 1 - 4 + 3 = 1 (-3) - 4 (-8) + 3 (-7) = 8 [ sunting] Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A 3x3 A = Kofaktor dari matriks A adalah C 11 = 12 C 12 = 6 C 13 = -16 C 21 = 4 C 22 = 2 C 23 = 16 C 31 = 12 C 32 = -10 C 33 = 16
gillettemach3 razor; comfortable dining table; trust gxt 152 treiber regalo deluxe my cot; x 2 mesh smencils scented pencils mindsight the new science of personal transformation. smartsweets sweet chews canada 80 piece kitchen starter set; 200 must know sight words pdf; apple wireless earphones PEMBELAJARANDETERMINAN MATRIKS EKSPANSI KOFAKTOR A. Uraian Materi Saat duduk di kelas X, kalian telah mempelajari konsep matriks, jenis matriks, operasi pada matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita serta menghitung determinan dengan metode sarrus. Pada pembelajaran ini, kita akan mengetahui metode ekspansi trikstersebut menjadi matriks blok. Untuk menentukan determinan matriks blok tersebut, pada penelitian ini akan digunakan dua metode yaitu metode ekspansi Laplace/kofaktor dan metode komplemen Schur. [4] 2. Landasan Teori 2.1. Matriks dan Operasi Matriks De nisi 2.1. [3] Misalkan Msebagai matriks bujur sangkar berukuran b b. Ma- bQRZsD.
  • sww97nzxhu.pages.dev/349
  • sww97nzxhu.pages.dev/21
  • sww97nzxhu.pages.dev/16
  • sww97nzxhu.pages.dev/762
  • sww97nzxhu.pages.dev/814
  • sww97nzxhu.pages.dev/925
  • sww97nzxhu.pages.dev/182
  • sww97nzxhu.pages.dev/424
  • sww97nzxhu.pages.dev/485
  • sww97nzxhu.pages.dev/309
  • sww97nzxhu.pages.dev/6
  • sww97nzxhu.pages.dev/993
  • sww97nzxhu.pages.dev/30
  • sww97nzxhu.pages.dev/257
  • sww97nzxhu.pages.dev/330

    • menentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor